鋼球直徑的半理論公式推導(dǎo)——鋼球直徑的半理論公式與經(jīng)驗(yàn)修正

公式（5-27）是粒度為d的礦塊抵抗破壞的能量，公式（5-34）則是直徑為D_b的鋼球打擊礦塊時所具有的動能。從巖礦的破碎原理分析，當(dāng)球的打擊能量大于礦塊抵抗破壞的能量時，即E_n≥E_抗時，礦塊發(fā)生破碎，也即是：

對上式整理，找出目標(biāo)函數(shù)Db（cm）與其它參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系為：

由鋼球運(yùn)動理論可知，若，式（5-35）經(jīng)進(jìn)一步簡化，得：

公式（5-36）是鋼球作拋落運(yùn)動時導(dǎo)出的，球作瀉落式運(yùn)動時力學(xué)還無法計(jì)算。瀉落式時球上升高度不高，用式（5-36）算出的結(jié)果還應(yīng)適當(dāng)加大。加之，前面推導(dǎo)公式時并未考慮鋼球的切向速度V₁，的破碎作用。如果把V₁的作用考慮在內(nèi)，上式計(jì)算的球徑應(yīng)考慮加大15%。這里按極限狀態(tài)考慮，式（5-36）變?yōu)椋?/p>

這個公式是在破碎力學(xué)原理的基礎(chǔ)上用系統(tǒng)而嚴(yán)密的戴維斯和列文松鋼球運(yùn)動理

論推導(dǎo)出來的，它反映了鋼球直徑與磨機(jī)轉(zhuǎn)速率鋼球有效密度、磨機(jī)直徑D（ D0與D直接有關(guān)、D0還與裝球率有關(guān)）、巖礦抗$壓極限強(qiáng)度壓和給礦粒度d之間的關(guān)系。是目前所見球徑公式中考慮因素較多的公式之一。從公式中可以看出，給礦粒度"大和巖礦抗壓極限強(qiáng)度大時需要大的球徑；磨機(jī)直徑D小時也需要大的球徑；鋼球有效密度"!小時（即礦漿太濃，浮力過大，對球的緩沖作用大）也需要大的球徑，故該公式反映了鋼球破碎過程中的客觀規(guī)律。而轉(zhuǎn)速率對鋼球直徑的影響較復(fù)雜，難于直接看出，計(jì)算后才能看出。但當(dāng)磨機(jī)轉(zhuǎn)速率為100%時，公式算出Db——∞，表示此時鋼球直徑無意義，因?yàn)榇藭r球已離心化而無破碎作用存在了。

此公式的結(jié)構(gòu)框架是直接由理論推導(dǎo)出來的，但其中包括巖礦的抗壓極限強(qiáng)度p_壓，e_壓不能由理論計(jì)算出來，只能借助實(shí)際工程測量得到，而且，在考慮瀉落式運(yùn)動時球徑已作了經(jīng)驗(yàn)性放大，因此，此公式只能算為半理論公式。此公式若要實(shí)際運(yùn)用，還應(yīng)對推導(dǎo)未考慮或假定中不符合實(shí)際的地方進(jìn)行一些修正。

公式（5-37）在推導(dǎo)中抓住了幾個主要因素，但也有一些因素未考慮。另外，為了推導(dǎo)公式方便而假定巖礦的力學(xué)性質(zhì)是均勻的，但實(shí)際上巖礦的力學(xué)性質(zhì)極不均勻。而且這些因素對球徑的影響是很大的，只是它們難于定量地進(jìn)入公式。如不考慮這些因素的影響，公式（5-37）也將產(chǎn)生大的誤差，甚至使公式無使用價值。事實(shí)上，以前各國學(xué)者提出的各個球徑公式中也均帶有經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)。對于這類復(fù)雜的工程技術(shù)問題，不經(jīng)過經(jīng)驗(yàn)修正的純理論公式是沒有實(shí)用價值的，因?yàn)楹唵蔚臄?shù)學(xué)式子不可能把磨礦過程的影響因素都包括進(jìn)去的。

現(xiàn)對公式（5-37）進(jìn)行如下三個方面的修正：

（1）巖石力學(xué)性質(zhì)的不均勻性修正。粗礦塊內(nèi)部宏觀和微觀裂紋多，故強(qiáng)度低。而當(dāng)?shù)V塊變細(xì)后各種裂紋逐漸消失，強(qiáng)度逐漸增大。原蘇聯(lián)學(xué)者曾對不同粒度的礦塊作過破壞強(qiáng)度測定研究，測定資料見表（3-5-3）。但當(dāng)?shù)V粒度小于1mm時尚未見到測定資料。芬蘭胡基教授曾作過不同粒度下的磨碎功耗測定，結(jié)果說明粒度變細(xì)與功耗的增加不是直線的比例關(guān)系。而呈類似冪函數(shù)的曲線關(guān)系增長，表明細(xì)磨時功耗增加比粒度變小快得多。參照胡基的研究和筆者進(jìn)行的細(xì)磨研究，在表3-5-4, 中補(bǔ)充了1mm以下的破壞力數(shù)值和修正系數(shù)。

國外學(xué)者從F.C.榜德理論推導(dǎo)出球磨機(jī)的給礦粒度為1/2in（即12.7mm）時碎磨的能耗低。按歐美技術(shù)習(xí)慣，80% 過篩粒度為12.7mm時，相當(dāng)于95% 過篩粒度的15mm。由于公式推導(dǎo)是在理想情況下進(jìn)行的，可以認(rèn)為求出合理的球徑是在能耗低的情況下得到的。故以15mm為基準(zhǔn)，小于15mm時礦塊力學(xué)強(qiáng)度增大，大于15mm時礦塊力學(xué)強(qiáng)度降低。若以K₁表示巖礦力學(xué)性質(zhì)不均勻的修正系數(shù)，并以15mm為基準(zhǔn)，定為1，則粒度大于15mm者K₁小于1，小于15mm者K₁大于1，按各粒級破壞力計(jì)算出K₁分別列入表3-5-4中。

（2）磨礦過程有效控制修正。磨礦過程中，粗磨和細(xì)磨的情況差異較大。粗磨時鋼球既容易打著礦粒，球荷之間也容易嚙住礦粒進(jìn)行研磨，故磨碎的概率高，磨礦作用效率高，能量浪費(fèi)小，即磨礦過程易于有效控制。細(xì)磨過程卻不然，鋼球打擊礦粒和球荷間嚙住礦粒均比較困難，磨碎的概率低，磨礦過程不太好控制，磨碎作用效率低，能量浪費(fèi)大。
仍以能量消耗低的15mm為基準(zhǔn)，并以K₂表示磨礦過程控制修正系數(shù)，大于15mm者K₂<1，小于15mm者K₂>1。由于目前還無法在此方面提出定量的修正依據(jù)，只有假設(shè)K₂的影響與K₁等同。

（3）礦漿粘度等因素的影響修正。粗磨時一定的礦漿粘度對磨礦是有利的，礦粒易粘附在鋼球和襯板上形成一層礦粒層，當(dāng)鋼球與鋼球或與襯板相碰撞時就能首先破碎礦粒，磨碎過程有效，能耗也就較低。細(xì)磨時粘度大則會產(chǎn)生有害影響，使能耗增大。如以K₃表示這方面的影響修正，但目前也難提出定量修正依據(jù)，仍仿K₂的處理辦法，假定同一粒度下K₃的影響同K₁。

于是，設(shè)綜合經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)為K_c，按前面的假設(shè)得：

 K₂和K₃的假設(shè)是否合理，應(yīng)以結(jié)果是否符合實(shí)際來進(jìn)行檢驗(yàn)。

 這樣，球徑半理論公式經(jīng)修正后D_b（cm）成為：

 公式（5-39）即為推導(dǎo)出的球徑半理論公式。式中的綜合修正系數(shù)K_c可按表3-5-5中數(shù)據(jù)選取。

 這樣，在實(shí)際給定的磨機(jī)工作條件下就可以按公式（5-39）計(jì)算所需要的鋼球直徑。公式計(jì)算時采用cm.g.s制量綱。